Ekvivalentné úpravy nerovníc

Lineárna nerovnica s neznámou x ∈ R je každá nerovnica tvaru ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0, kde a, b sú ľubovoľné reálne čísla.

Riešenie lineárnej nerovnice:

Nerovnicu upravíme tak, že odčítame b od oboch strán nerovnice, čím ju upravíme na tvar ax < -b, ax ≤ -b, ax > -b, ax ≥ -b. Pri riešení môžu potom nastať tri prípady:

Ak a < 0, potom z nerovnosti ax < -b dostaneme x > a/b

resp. z nerovnosti ax > -b dostaneme x <  a/b;

Ak a > 0, potom z nerovnosti ax > -b dostaneme x > -a/b

resp. z nerovnosti ax < -b dostaneme x < -a/b;

Ak a = 0 potom 0·x < -b alebo 0·x > -b . Táto nerovnica je splnená buď pre všetky x ∈ R alebo pre žiadne x ∈ R.

Ekvivalentné úpravy nerovníc:

1. vzájomná výmena strán nerovnice so súčasnou zmenou znaku nerovnosti na obrátený;
2. nahradenie ľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorý sa jej rovná v celom obore riešenia nerovnice, pričom znak nerovnosti sa nezmení;
3. pripočítaním toho istého čísla alebo výrazu s neznámou, ktorý je definovaný v celom obore riešenia, k obom stranám nerovnice, pričom znak nerovnosti sa nemení;
4. vynásobenie oboch strán nerovnice kladným číslom alebo výrazom s neznámou, pričom znak nerovnosti sa nemení;
5. vynásobenie oboch strán nerovnice záporným číslom nebo výrazom s neznámou, pritom znak nerovnosti sa zmení v obrátený;